Méthodes de démonstration en arithmétique
En la genèse d’une science, il n’est pas de commencement absolu. Comme le dit si bien, en parlant de l’astronomie, Pierre Duhem, « Si haut que l’on remonte la lignée des pensées qui ont préparé, suggéré, annoncé cette doctrine (une doctrine scientifique), on parvient toujours à des opinions qui, à leur tour, ont été préparées, suggérées et annoncées ; et si l’on cesse de suivre cet enchaînement d’idées qui ont procédé les unes des autres, ce n’est pas qu’on ait mis la main sur le maillon initial, mais c’est que la chaîne s’enfonce et disparaît dans les profondeurs d’un insondable passé » .
Résolument, c’est vers Euclide que notre premier élan nous pousserait à faire commencer cette étude des méthodes de démonstrations utilisées en arithmétique. C’est en effet le premier mathématicien dont les écrits sur cette science, les Livres arithmétiques des Eléments, nous soient parvenus entiers et authentiques. Il est à noter que ces Livres arithmétiques font partie d’une somme essentiellement consacrée à la géométrie. La géométrie opère sur les grandeurs (lignes, surfaces, volumes) et procède par construction (à la règle et au compas) alors que l’arithmétique s’intéresse aux propriétés singulières des nombres. Quelques remarques s’imposent à la lecture des Eléments :
- Euclide reprend dans les Livres arithmétiques des propriétés démontrées pour les grandeurs
au Livre V. Ceci est révélateur de la différence radicale qui existe pour lui entre la quantité continue
(qui est traitée géométriquement) et les quantités discrètes (traitées arithmétiquement). - Le corpus euclidien fait appel à l’abstraction et à la problématisation. Au lieu d’utiliser les
nombres dans des calculs, aussi sophistiqués soient-ils, comme cela semble être le cas chez les
Babyloniens ou les Egyptiens, ils sont étudiés ici pour eux-mêmes. On cherche à identifier leurs
propriétés et celles des opérations que l’on effectue sur eux.
