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La démonstration

Ce texte est une sorte de triptyque qui tourne autour du concept de démonstration.
Dans un préambule, un débat classique (Descartes, Leibniz) est présenté sous forme de dialogue fictif, qui engage un ensemble de notions permettant d’appréhender celle qui nous occupe. Nous verrons que, philosophiquement, la question de la démonstration engage tout un ensemble de décisions.
Dans le premier chapitre, nous verrons que, du point de vue de l’épistémologie contemporaine, la question philosophique de la démonstration ne peut être développée sans un certain nombre de connaissances sur les théories, la forme des lois scientifiques, le concept de déduction, et le théorème de la déduction. Il faut donc un certain nombre de connaissances pour comprendre le concept de démonstration. C’est ce qui sera présenté au début de ce texte, et qui explique un certain nombre de « rappels » (théorie, loi scientifique). Nous verrons qu’il y a des liens entre la déduction et la démonstration, quoiqu’elles ne s’identifient pas. Ils permettent d’expliquer en quoi consiste une démonstration dans un système hypothético-déductif.
Dans un second chapitre, quelques indications seront données pour l’interprétation de deux grands débats philosophiques autour de la démonstration : Peut-on accepter le raisonnement par l’absurde ? Les positions intuitionnistes et constructivistes pensent qu’il n’est pas acceptable en mathématiques.
La démonstration est-elle d’ordre logique ou mathématique ? Ces deux question sont liées, les « intuitionnistes » pensant souvent que la démonstration est d’abord mathématique. Ce débat sera illustré par l’analyse de la polémique entre Henri Poincaré et Bertrand Russell sur la logique mathématique, qui concerne l’interprétation de la démonstration par induction.

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Les limites de la culture

A la fois tristesse devant le constat qu’une culture peut avoir atteint ses limites (décadence, affaiblissement, perte de sa puissance…) et crainte devant le caractère illimité d’une culture (dans un système politique qui se veut total, dans une puissance technique qui rend tout possible et donc qui ne laisse rien deviner ni prévoir..). Ambivalence par rapport à la culture dont on craint toujours de voir apparaître les limites qui en signifieraient le terme prochain, et dont le caractère illimité inquiète parce qu’il rend l’avenir incertain, imprévisible, parce qu’il risque d’échapper au contrôle humain.
Ambivalence qui tient à la condition humaine : dans sa nécessaire finitude temporelle, l’homme est limité ; mais de par cette même nature, il appréhende ce qui dépasse cette finitude, ce qui se présente comme illimité. Car l’illimité peut toujours prendre le sens de ce qui est indéterminé, chaotique, bref peut toujours s’apparenter au néant. C’est la même crainte du néant qui nous fait craindre la limite et qui nous la fait espérer.
Culture présente cette ambivalence : elle crée des oeuvres, cherche à pérenniser ce que les hommes ont fait, elle peut s’accompagner d’une volonté de progrès ; cherche à orienter les actions humaines par une finalité ; veut durer et construire. En même temps culture crée des normes, fixe des limites, vit des interdits qu’elle crée et par lesquels elle cherche à se maintenir. Culture n’est pas le monde de l’indéfini des possibles mais celui de la détermination : une culture exclut, empêche, résiste.

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Spinoza et le problème de la métaphysique

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Il semble qu’il y ait chez Spinoza une assimilation de la métaphysique à la théologie et à la religion, voire à la superstition. C’est ainsi que sont mis le plus souvent dans le même camp les philosophes, les théologiens et le vulgaire. La critique de la métaphysique et de la théologie c’est alors tout aussi bien la critique de la superstition. Par ailleurs, métaphysique et théologie sont également des entreprises de légitimation d’un pouvoir despotique qui tend pour se maintenir à alimenter la superstition. Donc non seulement les doctes et le vulgaire disent la même chose, mais les premiers se servent de ces préjugés pour légitimer un pouvoir despotique et assurer du même coup leur propre position de domination. Cela permet de situer la métaphysique dans une logique spécifique de domination et de concevoir du même coup la philosophie comme un travail de libération à la fois éthique et politique…

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Aristote : la science non démonstrative

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La théorie aristotélicienne de la démonstration, exposée dans les Seconds Analytiques, peut être considérée comme une explicitation complète de la définition platonicienne de la science. La démonstration (apodeïxis) est un cas particulier du syllogisme, dont la théorie est exposée dans les Premiers Analytiques. Celle-ci montre à quelles conditions formelles une conclusion s’ensuit nécessairement de certaines prémisses : elle enseigne donc les règles qu’il faut respecter chaque fois que l’on veut rendre raison de la vérité d’une proposition quelconque, qui autrement serait l’objet d’une simple opinion. Mais ce qui spécifie la démonstration dans le genre syllogisme, c’est qu’elle doit permettre d’établir le caractère nécessairement vrai d’une conclusion, et non pas seulement sa dépendance nécessaire par rapport à des prémisses. Or, comme Platon l’avait fortement souligné, des prémisses simplement hypothétiques, c’est-à-dire, en grec, présupposées, ne peuvent engendrer qu’une conclusion tout aussi hypothétique qu’elles : il y avait donc pour lui une escroquerie intellectuelle à parer du nom de science ce qui ne serait, comme on dit aujourd’hui, qu’une démarche hypothético-déductive…

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Heidegger et le problème de la métaphysique

Les réflexions contemporaines sur le renouveau, l’actualité, mais aussi, assez paradoxalement, celles sur la fin de la métaphysique doivent beaucoup, sinon tout, à la pensée de Martin Heidegger. Si Heidegger a d’abord promu la cause de la métaphysique au XXe siècle, c’est incontestablement parce que son projet essentiel dans Sein und Zeit était de réveiller la question fondamentale la philosophie première, celle de l’être. « La question de l’être est aujourd’hui tombée dans l’oubli », proclamait, en effet, la première ligne du livre. Mais pour lever cet oubli, l’ouvrage annonçait qu’il aurait à se livrer à une « destruction » de l’histoire de l’ontologie, qu’il appellera un peu plus tard la métaphysique, et c’est cette idée de destruction (qui n’est pas vraiment destructrice au sens négatif du terme, car son propos est de redécouvrir, de manière positive, la question de l’être en décapant les recouvrements sous lesquels l’histoire de l’ontologie l’aurait enfouie) qui a conduit le second Heidegger à la thèse d’une fin de la métaphysique.

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Reprendre aujourd’hui les voies du travail engagé par Aristote dans la Métaphysique ?

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Martin Heidegger est loin d’être le seul en ce siècle à avoir tenu un discours, et cela en vue de la «dépasser», sur la métaphysique. Ainsi, par exemple, Rudolf Carnap écrivant en 1932, dans une perspective assurément différente de celle de «l’histoire de l’être», un article intitulé «Le dépassement de la métaphysique dans l’analyse logique du langage». Et c’est déjà sur la métaphysique que s’exprimait l’auteur des Prolégomènes à toute métaphysique future qui se présentera comme science. Ceux-là mêmes toutefois qui nous invitent à entreprendre à leur suite de rejeter ou «dépasser» la métaphysique n’en viendraient-ils pas à induire en nous le souhait de d’abord tenter d’y entrer ?

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Regarder la métaphysique en face

C’est l’affiche d’un congrès portant sur le thème : « Heidegger et la métaphysique » qui a inspiré le titre des réflexions qui suivent. Sur cette affiche figure un dessin de Joan Miro, représentant l’esquisse d’une figure humaine, dont la principale caractéristique est un oeil surdimensionnel. D’où le titre : « Regarder la métaphysique en face ». La formule n’est pas inventée de toutes pièces pour les biens de la cause. Elle est empruntée à Heidegger lui-même. Heidegger s’en sert à plusieurs reprises avec une emphase particulière dans l’introduction du grand cours : Die Grundbegriffe der Metaphysik au semestre d’hiver 1929/30 à Freiburg. Voici une des occurrences de la formule que je voudrais placer en exergue de ma réflexion : « Ainsi nous avons échoué une dernière fois dans toutes ces tentatives contournées d’une caractérisation de la métaphysique. N’avons-nous rien gagné ? Non et si. Ce que nous avons gagné, ce n’est pas une définition ni quelque chose de comparable. Ce que nous avons gagné, c’est sans doute une intellection (Einsicht) importante et peut-être essentielle du propre de la métaphysique : que nous-mêmes nous nous dérobons, nous nous défilons devant elle et que nous empruntons des détours; mais qu’il n’y a pas d’autre choix que de nous mettre nous-mêmes en route et de regarder la métaphysique en face, pour ne plus la perdre de vue ».

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La logique ou l’art de penser

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Explication du texte d’Arnauld et Niclole, Quatrième partie, Ch. I « L’utlité que l’on peut tirer des ces spéculations…. fin. »

« Texte traversé par un certain nombre de paradoxes : d’abord la démonstration y est considérée comme ce qui atteste de la faiblesse de la raison, là où habituellement on en fait une preuve de sa puissance. Elle renvoie l’homme à ses limites quand elle sert au contraire, chez Descartes par exemple, à lui ouvrir un champ illimité du savoir. Elle ruine ses prétentions à une connaissance absolue en toute chose alors qu’elle fournit des raisons d’être certain ».

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Deux études sur Frege : entre mathématiques et linguistique

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L’œuvre de Frege est très brève, incisive, quasi minérale en sa sobriété, comme une sorte d’aérolithe d’abord méconnu puis admiré, enfin commenté minutieusement et religieusement dans la deuxième moitié du XXe siècle. Pour lui faire droit, en manifester la force, l’originalité et la fécondité aux yeux de philosophes moins rompus aux exercices de la philosophie analytique, il paraît utile de retracer les liens étroits qui l’unissent aux mathématiques de son temps d’une part, et à la réflexion traditionnelle sur les langues d’autre part, entre mathématiques et linguistique. Les contours de la logique, ce territoire bien difficile à dessiner, en ressortiront peut-être plus nets.
Dans le vaste mouvement qui à la fin du XIXe siècle ébranle les bases mêmes des sciences mathématiques et oblige les penseurs à chercher un sol stable par delà les traditionnelles assurances de la géométrie euclidienne et de l’échafaudage des nombres, Frege occupe une place à part, très novateur et très archaïque à la fois. Attaché aux certitudes de l’intuition géométrique – pas question d’admettre une géométrie non-euclidienne à titre provisoire ou hypothétique, car « nul ne peut servir deux maîtres » -, soucieux inlassablement de garantir une référence à toutes les expressions – pas question de jouer en irresponsable avec des écritures, comme une monnaie sans étalon or -, il creuse patiemment pour atteindre le sol logique, ce qu’il pense être le roc : les lois de la pensée pure, sur lesquelles pourraient se bâtir une part des constructions mathématiques.

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Russell, Critique de Kant

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Tout en reconnaissant l’importance historique de Kant présenté à plusieurs reprises comme le fondateur de l’épistémologie moderne, Russell n’a cessé d’émettre tout au long de sa carrière philosophique, des jugements très sévères sur l’auteur de la Critique de la Raison pure. Ces jugements peuvent paraître excessifs, hâtifs, à l’emporte pièce (« Kant fut une pure calamité », « Kant me rend malade ») mais rien ne serait plus erroné que d’y voir l’expression d’une méconnaissance, voire le fruit d’une lecture hâtive de l’oeuvre kantienne. Le jeune Russell, comme en témoigne l’Essai sur les Fondements de la Géométrie de 1897, avait étudié avec grand soin la philosophie critique, s’était efforcé de l’ « évaluer » à l’aune de ce qui constituait à l’époque la « modernité », à savoir la « métagéométrie » et la logique néo-hégélienne de Bradley et de Bosanquet. Le trait remarquable c’est que le jugement porté sur Kant par Russell demeurera à peu près le même dans ses grandes lignes lors même que Russell aura abandonné l’ »idéalisme » de sa jeunesse, aura profondément modifié ses conceptions philosophiques et aura trouvé de nouvelles raisons de s’opposer à la philosophie kantienne.

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